Una de geometrías, que a mí lo de las mates me gusta:
La geometría normal que conocemos es la geometría Euclidiana. Pero, ¿qué son las geometrías no euclidianas? ¿de dónde salen?.
Euclides, en su momento, dio cinco axiomas en los que basar su geometría. Estos cinco se presupone que son ciertos sin necesidad de demostración y sobre ellos se construye el resto de la geometría. Estos cinco axiomas son:
- Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une.
- Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido.
- Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
- Todos los ángulos rectos son iguales.
- Si una recta al cortar a otras dos forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.
Los cuatro primeros son bastante evidentes, y podemos creernos que son ciertos sin necesidad de demostración. Sin embargo, el quinto, tal cual lo enunció Euclides, parece un poco raro, difícil de entender y difícil de creérselo sin una demostración. Con el tiempo, este quinto axioma se cambió por este otro más sencillo, pero equivalente.
- Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela.
A partir de estos cinco axiomas, se pueden demostrar todos los demás teoremas de la geometría. Los cinco axiomas son necesarios. Ninguno de ellos se puede deducir de los otros y si falta alguno de ellos, no se puede construir la geometría.
Sin embargo, el quinto axioma dejó un poco preocupados a los estudiosos que vinieron detrás. Ese quinto axioma parece muy complejo y parece que no es algo que se pueda creer sin una demostración. Por ello, mucha gente se puso a intentar encontrar una demostración basándose en los cuatro anteriores. Una forma de demostrar es suponer que no se cumple y ver que se llega a una incongruencia con alguno de los cuatro primeros.
Supusieron primero que por un punto exterior a una recta no se podían trazar paralelas. Se pusieron a construir, hacer demostraciones…. y no llegaron a ningún absurdo. Se construyó una geometría perfectamente coherente en la que por un punto exterior a una recta no se pueden trazar paralelas. Sería, por ejemplo, el caso de hacer geometría sobre la superficie de una esfera. Si consideramos que las rectas son los círculos máximos, por un punto exterior a una recta no se puede trazar otra recta que no corte a la primera. Estas geometrías se llaman geometrías elípticas.
Luego supusieron que por un punto exterior a una recta se pueden trazar varias paralelas…. y tampoco llegaron a un absurdo. Se construyó una geometría coherente y completa en la que por un punto exterior a una recta se pueden trazar varias paralelas. Este es el caso de una geometría que se construya sobre la superficie de una hipérbola. Estas geometrías se llaman geometrías hiperbólicas.
En resumen, las geometrías no euclidianas no son algo que se pueda ver y tocar en el mundo real -quién sabe-, son símplemente geometrías sobre papel que se han construido tratando de buscar una demostración del quinto postulado de Euclides, que parecía un poco raro.
